信息的表示与存储 - 浮点数的运算

IEEE 754

IEEE二进制浮点数算术标准（IEEE 754）是20世纪80年代以来最广泛使用的浮点数运算标准，为许多CPU与浮点运算器所采用。这个标准定义了表示浮点数的格式（包括负零-0）与反常值（denormal number）），一些特殊数值（无穷（Inf）与非数值（NaN）），以及这些数值的“浮点数运算符”；它也指明了四种数值舍入规则和五种例外状况（包括例外发生的时机与处理方式）。百度百科-IEEE 754

浮点数舍入

IEEE规定了对于浮点数x和y，在进行运算后，会对实际的存储的值进行舍入，丢弃一些bit位，IEEE 754有四种舍入方式：

• 舍入到最接近：舍入到最接近，在一样接近的情况下偶数优先（Ties To Even，这是默认的舍入方式）：会将结果舍入为最接近且可以表示的值，但是当存在两个数一样接近的时候，则取其中的偶数（在二进制中式以0结尾的）。

• 朝0方向舍入：会将结果朝0的方向舍入。

• 朝+∞方向舍入：会将结果朝正无限大的方向舍入。

• 朝-∞方向舍入：会将结果朝负无限大的方向舍入。

举例：

方式 	1.40 	1.60 	1.50 	2.50 	-1.50
舍入到最接近 	1 	2 	2 	2 	-2
朝0方向舍入 	1 	1 	1 	2 	-1
朝+∞方向舍入 	2 	2 	2 	3 	-1
朝-∞方向舍入 	1 	1 	1 	2 	-2

ps: 1.50 与1和2都很接近，但是因为2是偶数，所以1.5舍入结果位2，2.5也是因为如此。

浮点数运算

特殊参数的运算

一些特殊的参数(0,+∞,-∞,NaN)

• 1.0/+0 为+∞

• 1.0/-0 为-∞

• 0.0/0.0 为NaN

• +∞-∞ 为NaN

ps: NaN是唯一与自身不等的浮点数类型

浮点数的加减法

浮点数的加减运算一般由以下步骤完成：0 操作数判断，对阶、尾数运算、规格化、舍入处理、溢出判断

0 操作数判断

浮点数运算比较复杂，如果操作数中有0，则就不需进行下面的步骤了。

对阶

所谓对阶是指将两个进行运算的浮点数的阶码对齐的操作。对阶的目的是为使两个浮点数的尾数能够进行加减运算。因为，当对x和y进行加减运算时，只有使两浮点数的指数值部分相同，才能将相同的指数值作为公因数提出来，然后进行尾数的加减运算。

对阶的具体方法是：首先求出两浮点数阶码的差，即⊿E，将小阶码加上⊿E，使之与大阶码相等，同时将小阶码对应的浮点数的尾数右移相应位数，以保证该浮点数的值不变。几点注意：

1. 对阶的原则是小阶对大阶，之所以这样做是因为若大阶对小阶，则尾数的数值部分的高位需移出，而小阶对大阶移出的是尾数的数值部分的低位，这样损失的精度更小。

2. 若⊿E＝0，说明两浮点数的阶码已经相同，无需再做对阶操作了。

3. 采用补码表示的尾数右移时，符号位保持不变。

4. 由于尾数右移时是将最低位移出，会损失一定的精度，为减少误差，可先保留若干移出的位，供以后舍入处理用。

尾数运算

尾数运算就是进行完成对阶后的尾数相加减。这里采用的就是我们前面讲过的纯小数的定点数加减运算。

结果规格化

由于在进行上述两个定点小数的尾数相加减运算后，尾数有可能是非规格化形式，为此必须进行规格化操作，对于IEEE754标准的浮点数来说，就是尾数必须是1.M的形式。。

规格化操作包括左规和右规两种情况：

1. 左规操作：将尾数左移，同时阶码减值，直至尾数成为1.M的形式。例如，浮点数0.0011·25是非规格化的形式，需进行左规操作，将其尾数左移3位，同时阶码减3，就变成1.1100·22规格化形式了。

2. 右规操作：将尾数右移1位，同时阶码增1，便成为规格化的形式了。要注意的是，右规操作只需将尾数右移一位即可，这种情况出现在尾数的最高位（小数点前一位）运算时出现了进位，使尾数成为10.xxxx或11.xxxx的形式。例如，10.0011·25右规一位后便成为1.00011·26的规格化形式了。

舍入处理

浮点运算在对阶或右规时，尾数需要右移，被右移出去的位会被丢掉，从而造成运算结果精度的损失。为了减少这种精度损失，可以将一定位数的移出位先保留起来，称为保护位，在规格化后用于舍入处理。

关于舍入上文有具体介绍。

溢出判断

与定点数运算不同的是，浮点数的溢出是以其运算结果的阶码的值是否产生溢出来判断的。

1. 若阶码的值超过了阶码所能表示的最大正数，则为上溢，进一步，若此时浮点数为正数，则为正上溢，记为+∞，若浮点数为负数，则为负上溢，记为-∞；

2. 若阶码的值超过了阶码所能表示的最小负数，则为下溢，进一步，若此时浮点数为正数，则为正下溢，若浮点数为负数，则为负下溢。正下溢和负下溢都作为0处理。

浮点数的乘除法

浮点数的乘除运算规则如下：

1. 乘法 指数相加，尾数相乘

2. 除法 指数相减，尾数相除

所以，浮点数的乘除运算没有对阶：0 操作数判断、阶码加减、尾数乘除、规格化、舍入处理、溢出判断，除了0 操作数判断、阶码加减、尾数乘除与浮点数加法不一致，其余步骤大体相同

0 操作数判断

浮点数运算比较复杂，如果操作数中有0，则结果可能为0、+∞、-∞、NaN

阶码加减与尾数乘除

按照整数加减运算，需要判断是否溢出。按照定点小数乘法对尾数乘除，

参考资料

1. 百度百科-左移运算符

2. 百度百科-IEEE 754

3. 豆瓣-深入理解计算机系统（原书第3版）

4. 计算机组成原理-白中英主编