不懂点儿统计学，《星球大战》白看了

很久很久以前，在一个遥远的星系……

我们的英雄汉·索罗正驾驶着“千年隼”号全速躲避歼星舰和钛战机的追击。

慌乱中，机器人 C-3PO 提示说，“千年隼”号的超光速推进器坏了。更糟糕的是，飞船还被小行星撞了一下。

这一撞给了汉·索罗灵感。只见他坐进驾驶位，调整状态，将“千年隼”号径直驶入了小行星带。

一向见多识广的 C-3PO 在他身后连忙提示道：“长官，成功穿过小行星带的概率大约是 1 比 3720！”

“千万别跟我提概率！”汉·索罗回答道。

《星球大战：帝国反击战》剧照

（来源：imdb.com）

如果看过《星球大战：帝国反击战》，那么你一定对以上名场面记忆犹新。在扣人心弦的情节背后，其实隐藏了一个有趣的统计学知识。我们来仔细看看。

一方面，我们都知道拥有主角光环的汉·索罗定能成功穿过小行星带。另一方面，我们也知道 C-3PO 的数据很合理，因为的确没有一架钛战机成功穿过小行星带。

汉·索罗认为自己成功穿过小行星带的概率 = 100%

C-3PO 计算的成功穿过小行星带的概率 = 1 / 3720 = 0.027%

既然双方都有道理，那为什么两个概率的差距如此之大呢？

似然：C-3PO 的推理方式

C-3PO 并没有错，它只是忘了重要信息——汉·索罗是高手，超级厉害！

C-3PO 并没有胡编乱造，它精通 600 多万种通信方式，这需要大量的数据支持。所以我们可以基本确定，“1 比 3720”的说法是有数据支撑的。

我们根据 C-3PO 给出的数据，使用β分布来确定成功概率。之所以使用β分布，是因为在给定成功和失败比例的情况下，它能正确地模拟一个事件的各种可能概率。

β分布的参数是α（观察到的成功次数）和β（观察到的失败次数）：

Beta(α,β)

这个分布告诉我们，根据目前掌握的数据，C-3PO 认为成功穿过小行星带的概率最有可能是多少。

为了弄清 C-3PO 的推理方式，这里做些合理的假设。我们假设 C-3PO 的记录显示仅有两个人成功穿越过小行星带，而其他的 7440 人则在剧烈的爆炸中结束了小行星带之旅。

下图展示了β分布，即 Beta(2, 7440)。

成功希望如此渺茫！怪不得连汉·索罗自己都认为冲进小行星带很危险，所以他说道：“他们一定是疯了才会跟着我们。”

先验：汉·索罗的厉害之处

C-3PO 的分析存在的问题是，它掌握的数据是关于所有飞行员的，但汉·索罗并非普通的飞行员。

我们的先验信念是，汉·索罗一定能成功穿过小行星带，因为他有主角光环。

先验信念的概率往往颇具争议性。很多人觉得“编造”一个先验概率很不客观。但你要知道，否定先验概率更荒谬。

我们有很多理由相信汉·索罗会活下来，却没有数据来支撑这个信念。先来看看他的厉害程度的上界。（是的，应该有一个上界，不是吗？如果我们相信他绝对不会死，那么这部电影就老套且无聊了。）

我们有很强的信念认为汉·索罗会成功穿过小行星带。这里再次做出合理的假设。假定我们相信他会活下来的信念是 20000 比 1。

下图显示了我们相信汉·索罗会活下来的先验概率分布，即 Beta(20000, 1)。

后验：编剧如何制造悬念

我们已经确定了 C-3PO 的信念（似然），也建立了对汉·索罗的信念模型（先验概率分布）。接下来需要一种方法将二者结合起来，形成最终的后验信念。

我们像下面这样组合上述两个β分布，得到后验概率分布。

代入具体的值，有：

Beta(2+20000,7440+1) = Beta(20002,7441)

从下图可以直观地看到后验概率分布。

可以看到，通过将 C-3PO 的信念与“汉·索罗很厉害”的信念结合起来，我们发现他成功活下来的概率大约是 73%。

这意味着我们仍然认为汉·索罗有很大的机会成功，但我们还是会为他担心。

结语

通过这个例子，我们了解到似然、先验和后验的关系。实际上，这三者正是贝叶斯定理的三要素。

C-3PO 的数据提供了与我们对汉·索罗能力的认知不符的似然，但我们并没有直接否定 C-3PO 的数据，而是将似然与我们的先验信念结合起来，形成调整后的最终信念（后验）。

在电影中，这种不确定性对营造紧张氛围至关重要。

在现实生活中，掌握了贝叶斯定理的基本逻辑，你也能用它来分析你所遇到的任何不确定情形。

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