二、证明等式（3.16）：a ^ {\log_b c} = c ^ {\log_b a}。

文心一言：

chatgpt：

我们需要证明的等式为：$a^{{\log }_{b}c}=c^{{\log }_{b}a}$。

首先，将 ${\log }_{b}c$ 看作一个变量 $x$，那么原式可表示为 $a^x=c^{\frac{{\log }_{a}b}{{\log }_{a}c}}$。

然后，我们将 $c^{\frac{{\log }_{a}b}{{\log }_{a}c}}$ 进一步拆分，得到：

最后，将上述结果代入原式中，有：

因此，我们证明了等式 $a^{{\log }_{b}c}=c^{{\log }_{b}a}$ 成立。

三、证明等式（3.19）：\lg(n!) = \Theta(n \lg n)。并证明 n! = \omega(2 ^ n) 且 n! = o(n^n)。

文心一言：

chatgpt：

首先，我们证明等式 $\lg (n!)=\Theta (n\lg n)$。

由斯特林公式（Stirling's formula），可得：

两边同时取以 2 为底的对数，则有：

因为 $\frac{\ln n}{\ln 2}$ 等于 $\Theta (\log n)$，所以可得：

因此，$\lg (n!)=\Theta (n\lg n)$ 得证。

接下来，我们证明 $n!=\omega (2^n)$。根据定义，需要证明：

考虑到：

因此，$n!$ 至少每乘以 2 次就要增长一倍，即：

因此，$n!=\omega (2^n)$ 成立。

最后，我们证明 $n!=o(n^n)$。根据定义，需要证明：

将 $n!$ 展开，则有：

因此，$\frac{n!}{n^n}<1$，即 $\frac{n!}{n^n}\to 0$ 当 $n\to \infty$。因此，$n!=o(n^n)$ 成立。

综上所述，我们证明了等式 $\lg (n!)=\Theta (n\lg n)$，以及 $n!=\omega (2^n)$ 和 $n!=o(n^n)$。