简介

奇异值是矩阵中的一个非常重要的概念，一般是通过奇异值分解的方法来得到的，奇异值分解是线性代数和矩阵论中一种重要的矩阵分解法，在统计学和信号处理中非常的重要。

在了解奇异值之前，让我们先来看看特征值的概念。

相似矩阵

在线性代数中，相似矩阵是指存在相似关系的矩阵。设 A，B 为 n 阶矩阵，如果有 n 阶可逆矩阵 P 存在，使得 P-1AP=B，则称矩阵 A 与 B 相似，记为 A~B。

对角矩阵

对角矩阵(diagonal matrix)是一个主对角线之外的元素皆为 0 的矩阵，常写为 diag（a1，a2,…,an) 。对角矩阵可以认为是矩阵中最简单的一种，值得一提的是：对角线上的元素可以为 0 或其他值，对角线上元素相等的对角矩阵称为数量矩阵；对角线上元素全为 1 的对角矩阵称为单位矩阵。对角矩阵的运算包括和、差运算、数乘运算、同阶对角阵的乘积运算，且结果仍为对角阵。

可对角化矩阵

可对角化矩阵是线性代数和矩阵论中重要的一类矩阵。如果一个方块矩阵 A 相似于对角矩阵，也就是说，如果存在一个可逆矩阵 P 使得 P −1AP 是对角矩阵，则它就被称为可对角化的。

特征值

设 A 为 n 阶矩阵，若存在常数λ及 n 维非零向量 x，使得 Ax=λx，则称λ是矩阵 A 的特征值，x 是 A 属于特征值λ的特征向量。

一个矩阵的一组特征向量是一组正交向量。

即特征向量被施以线性变换 A 只会使向量伸长或缩短而其方向不被改变。

一个线性变换通常可以由其特征值和特征向量完全描述。特征空间是相同特征值的特征向量的集合。

特征分解

特征分解（Eigendecomposition），又称谱分解（Spectral decomposition）是将矩阵分解为由其特征值和特征向量表示的矩阵之积的方法。需要注意只有对可对角化矩阵才可以施以特征分解。

令 A 是一个 N×N 的方阵，且有 N 个线性无关的特征向量 qi(i=1,…,N)。这样， A 可以被分解为: A= QΛQ-1

其中 Q 是 N×N 方阵，且其第 i 列为 A 的特征向量 。如果 A 的所有特征向量用 x1,x2 … xm 来表示的话，那么 Q 可以表示为：$\left[x_1,x_2,\dots ,x_m\right]$, 其中 x 是 n 维非零向量。

Λ 是对角矩阵，其对角线上的元素为对应的特征值，也即Λii=λi。 也就是$\left[\begin{array}{c}{\lambda }_1\dots 0\\ \dots \dots \dots \\ 0\dots {\lambda }_m\end{array}\right]$

这里需要注意只有可对角化矩阵才可以作特征分解。比如$\left[\begin{array}{c}11\\ 01\end{array}\right]$不能被对角化，也就不能特征分解。

因为 A= QΛQ-1 ，可以看做 A 被分解为三个矩阵，也就是三个映射。

假如现在有一个向量 x，我们可以得出下面的结论：$Ax=Q\Lambda Q^{-1}x$

Q 是正交矩阵，正交阵的逆矩阵等于其转置,所以$Q^{-1}=Q^T$.

$Q^T$对 x 的变换是正交变换，它将 x 用新的坐标系来表示，这个坐标系就是 A 的所有正交的特征向量构成的坐标系。比如将 x 用 A 的所有特征向量表示为：

image.png

则通过第一个变换就可以把 x 表示为

image.png

。

image.png

然后，在新的坐标系表示下，由中间那个对角矩阵对新的向量坐标换，其结果就是将向量往各个轴方向拉伸或压缩:

image.png

如果 A 不是满秩的话，那么就是说对角阵的对角线上元素存在 0，这时候就会导致维度退化，这样就会使映射后的向量落入 m 维空间的子空间中。

最后一个变换就是 Q 对拉伸或压缩后的向量做变换，由于 Q 和$Q^T$

是互为逆矩阵，所以 Q 变换是$Q^T$变换的逆变换。

特征值的几何意义

一个矩阵乘以一个列向量相当于矩阵的列向量的线性组合。一个行向量乘以矩阵，相当于矩阵的行向量的线性组合。

所以向量乘以矩阵之后，相当于将这个向量进行了几何变换。

之前讲了 Λ 是对角矩阵，其对角线上的元素为对应的特征值，也即Λii=λi。 也就是$\left[\begin{array}{c}{\lambda }_1\dots 0\\ \dots \dots \dots \\ 0\dots {\lambda }_m\end{array}\right]$

这些特征值表示的是对向量做线性变换时候，各个变换方向的变换幅度。

奇异值 Singular value

假如 A 是 m * n 阶矩阵，q=min(m,n)，A*A 的 q 个非负特征值的算术平方根叫作 A 的奇异值。

奇异值分解 SVD

特征值分解可以方便的提取矩阵的特征，但是前提是这个矩阵是一个方阵。如果是非方阵的情况下，就需要用到奇异值分解了。先看下奇异值分解的定义：

image.png

其中 A 是目标要分解的 m * n 的矩阵，U 是一个 n * n 的方阵，Σ 是一个 n * m 的矩阵，其非对角线上的元素都是 0。

$V^T$是 V 的转置，也是一个 n * n 的矩阵。

奇异值跟特征值类似，在矩阵Σ中也是从大到小排列，而且奇异值的减少特别的快，在很多情况下，前 10%甚至 1%的奇异值的和就占了全部的奇异值之和的 99%以上了。也就是说，我们也可以用前 r 大的奇异值来近似描述矩阵。r 是一个远小于 m、n 的数，这样就可以进行压缩矩阵。

通过奇异值分解，我们可以通过更加少量的数据来近似替代原矩阵。

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