深度 Ritz 方法的全面误差分析

摘要

深度学习误差分析包含近似误差、统计误差和优化误差，但过参数化特性使得三者难以统一分析。为解决该理论难题，本文对深度 Ritz 方法(DRM)进行了完整的误差分析框架构建。重点研究过参数化状态下 DRM 理论分析的核心问题：针对目标精度要求，如何确定训练样本数量、神经网络关键架构参数、投影梯度下降优化过程的步长参数，以及所需迭代次数，使得梯度下降输出结果能以指定精度逼近偏微分方程的真实解。

核心贡献

1. 建立了 DRM 在过参数化状态下的统一误差分析框架

2. 量化了神经网络架构参数与偏微分方程求解精度的数学关系

3. 提出了投影梯度下降优化过程的收敛性证明

4. 给出了训练样本量、迭代次数等关键参数的选取准则

理论创新

通过构造性证明方法，论文首次实现了：

• 近似误差与网络深度的显式关联

• 统计误差与样本量的定量关系

• 优化误差与迭代次数的严格控制

应用价值

该分析框架为：

1. 科学计算中的神经网络架构设计提供理论指导

2. 偏微分方程数值解的精度控制建立量化标准

3. 过参数化深度学习模型的误差分解提供新范式

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