【动态规划 / 路径问题】强化 DP 分析方法练习题 ...

前言

今天是我们讲解动态规划专题中的 路径问题 的第二天。

今天讲解的题目主要是为了巩固 *上一讲* 我和你分享的 DP 分析技巧。

另外，我在文章结尾处列举了我所整理的关于 路径问题 的相关题目。

路径问题 我按照编排好的顺序进行讲解（一天一道）。

你也先可以尝试做做，也欢迎你向我留言补充，你觉得与路径相关的 DP 类型题目 ~

题目描述

这是 LeetCode 上的 63. 不同路径 II，难度为 Medium。

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为“Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。

现在考虑网格中有障碍物。那么从左上角到右下角将会有多少条不同的路径？

网格中的障碍物和空位置分别用 1 和 0 来表示。

示例 1：

输入：obstacleGrid = [[0,0,0],[0,1,0],[0,0,0]]输出：2解释：3x3 网格的正中间有一个障碍物。从左上角到右下角一共有 2 条不同的路径：1. 向右 -> 向右 -> 向下 -> 向下2. 向下 -> 向下 -> 向右 -> 向右

示例 2：

输入：obstacleGrid = [[0,1],[0,0]]输出：1

提示：

• m == obstacleGrid.length

• n == obstacleGrid[i].length

• 1 <= m, n <= 100

• obstacleGrid[i][j] 为 0 或 1

动态规划解法

这道题和 62. 不同路径 相比，不能说完全相同，只能说一模一样 ~

多了某些格子有障碍物（不可达）的限制，但丝毫不影响我们的分析。

还是定义 f[i][j] 为到达位置 (i,j) 的不同路径数量。

那么 f[n-1][m-1] 就是我们最终的答案。

f[0][0] = 1 是一个显而易见的起始条件，同时由于某些格子上有障碍物，对于 grid[i][j]==1 的格子，则有 f[i][j] = 0。

由于题目限定了我们只能 往下 或者 *往右* 移动，因此我们按照当前可选方向进行分析：

1. 当前位置只能 往下 移动，即有 f[i][j] = f[i-1][j]
   

1. 当前位置只能 往右 移动，即有 f[i][j] = f[i][j-1]
   

1. 当前位置即能 往下 也能 往右 移动，即有 f[i][j] = f[i][j-1] + f[i-1][j]
   

代码：

class Solution {    public int uniquePathsWithObstacles(int[][] grid) {        int m = grid.length, n = grid[0].length;        int[][] f = new int[m][n];        f[0][0] = grid[0][0] == 1 ? 0 : 1;        for (int i = 0; i < m; i++) {            for (int j = 0; j < n; j++) {                if (grid[i][j] != 1) {                    if (i > 0 && j > 0) {                        f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i][j - 1];                    } else if (i > 0) {                        f[i][j] = f[i - 1][j];                    } else if (j > 0) {                        f[i][j] = f[i][j - 1];                    }                }            }        }        return f[m - 1][n - 1];    }}

• 时间复杂度：$O(n*m)$

• 空间复杂度：$O(n*m)$

总结

今天这道题目没有太多的「亮点」，就是单纯是 62. 不同路径 的修改篇。

但我仍然建议你打开 LeetCode 重新做一遍，并结合我上一讲提到过的分析技巧。

路径问题（目录）

62.不同路径（中等）：路径问题第一讲

63.不同路径 II（中等）：（本篇）

64.最小路径和（中等）

120.三角形最小路径和（中等）

931.下降路径最小和（中等）

1289.下降路径最小和 II（困难）

1575.统计所有可行路径（困难）

576.出界的路径数（中等）

1301.最大得分的路径数目（困难）

欢迎补充 ~

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.63 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先将所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码，我建立了相关的仓库：https://github.com/SharingSource/LogicStack-LeetCode。

在仓库地址里，你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。