MPSK 通信系统的设计与性能研究 -8PSK

2023-03-29
山东
本文字数：8061 字
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一、8PSK 背景

略

二、原理概述

2.1 PSK 调制

发送端发送的是一连串离散而随机的二进制比特流，使用 PSK 载波相位调制的方法，这样发送端发送的消息便包含在了相位中，此种调制方法可以十分有效地节约带宽。

u_{m} (t) = A g_{T} (t) cos (2 π f_{c} t + \frac{2 π m}{M}), m = 0, 1, \dots, M - 1

其中, $g_{T} (t)$ 是发送滤波器的脉冲形状, 传输信号的频谱特性由它决定。A 则是信号的幅度。在 $p s k$ 调制中, 所有的 $p s k$ 信号对于所有的 $m$ 都具有相同的能量。能量为:

ε_{m} = \int_{- \infty}^{+ \infty} u_{m}^{2} (t) d t = ε_{s} ε_{s}

代表每个传输符号的能量。

在本次实验中, 为了方便分析, 我们令 $A = 1, g_{T} (t) = \frac{2 ε _{s}}{T}, 0 \leq t \leq T$ , 那么, 相应的 $g s k$ 调制信号的波形为

u_{m} (t) = \frac{2 ε _{s}}{T} cos (2 π f_{c} t + \frac{2 π m}{M}) = \frac{2 ε _{s}}{T} (A_{m c} cos 2 π f_{c} t - A_{m s} cos 2 π f_{c} t), m = 0, 1, \dots, M - 1, 0 \leq t \leq T

我们规定:

A_{m c} = cos \frac{2 π m}{M} A_{m s} = sin \frac{2 π m}{M}, m = 0, 1, \dots, M - 1 .

经过上述分析, 我们不难得出, 这样一个相位调制信号可以看作两个正交载波, 因

此, 数字相位调制信号可以在几何上可用二维向量的形式来表示, 即 $$ \vec{s} {m}=(\sqrt{\varepsilon{s}} \cos \frac{2 \pi m}{M}, \sqrt{\varepsilon_{s}} \sin \frac{2 \pi m}{M}) $$

正交基函数为:

ψ_{1} (t) = g_{T} (t) cos 2 π f_{c} t ψ_{2} (t) = - g_{T} (t) sin 2 π f_{c} t .

2.2 信号传输

调制信号在 AWGN 信道传输的时候, 会有噪声混杂进来, 此时输出信号变为:

r (t) = u_{m} (t) + n_{c} (t) cos (2 π f_{c} t) - n_{s} (t) sin (2 π f_{c} t)

其中, $n_{c} (t)$ 和 $n_{s} (t)$ 分别是加性噪声的同相分量和正交分量, 之后, 我们将输出信号和给出的基函数作相关, 则两个相关器的输出为: $r = s_{m} + n = (ε_{s} cos \frac{2 π m}{M} + n_{c}, ε_{s} sin \frac{2 π m}{M} + n_{s})$ 需要注意的是 $n_{c} (t)$ 和 $n_{s} (t)$ 这两个正交噪声的分量是零均值, 互不相关的高斯随机过程。

2.3 解调方式

（1）最小欧式距离准则判决

最小欧式距离准则判决: 求出接收到的信号向量与 M 个传输向量的欧式距离, 选取对应的最小欧式距离的向量, 该向量对应的符号即为判决输出符号。此种方法需要掌握距离度量的概念并熟练运用, 下面给出关于距离度量具体的

理论分析:

在接收消息尚不确定 (即还没有接收到矢量 $r$ ) 的情况下, 要使得先验概率为最大, 最好的判决方法就是选择具有最高先验概率 $P(\vec{s}{m}) $的信号; 接受到矢量$ \vec{r} $后, 其方法与前者类似, 前者是寻找先验概率的最大值, 此时是寻找后验概率的最大值, 换言之, 选择使$ P(\vec{s}{m} \mid \vec{r}) $最大的$ \vec{s}_{m}$ , 这个判决准则称为最大后验概率 (MAP) 准则。

根据贝叶斯公式, 后验概率可表示为: $P(\vec{s} {m} \mid \vec{r})=\frac{f(\vec{r} \mid \vec{s} {m}) P(\vec{s} {m})}{f(\vec{r})} $当 M 个信号先验概率相等, 由于$ f(\vec{r}) $和$ P(\vec{s} {m}) $均为确定的值$ (P(\vec{s} {m})=\frac{1}{M}) $。则寻找$ P(\vec{s} {m} \mid \vec{r}) $的最大值就等价于寻找$ f(\vec{r} \mid \vec{s}_{m})$ 的最大值。此时 MAP 准则简化为 ML 准则。

我们不妨对接收到的矢量 $r$ 进行简要的分析, $\vec{r}=\vec{s}{m}+\vec{n} $,$ \vec{s}{m} $是信号矢量,$ \vec{n} $是 A W G N 信道中的噪声矢量, 噪声矢量的分量$ n_{k} $服从分布$ N(0, \frac{N_{o}}{2}) $, 则$ r_{k} $服从分布$ N(s_{m k}, \frac{N_{0}}{2})$

因此 $$\begin{aligned} f(\vec{r} \mid \vec{s} {m}) & =\prod{k=1}^{N} \frac{1}{\sqrt{\pi N_{0}}} \mathrm{e}^{-\frac{(r_{k}-s_{m k})^{2}}{N_{0}}} \ & =\frac{1}{(\pi N_{0})^{\frac{N}{2}}} e^{\frac{|\vec{r}-\vec{s} {m}|^{2}}{N{0}}}, m=1,2, \ldots, M \end{aligned} $$

右端取对数有:

$\ln f(\vec{r} \mid \vec{s} {m})=-\frac{N}{2} \ln (\pi N{0})-\frac{1}{N_{0}} \sum_{k=1}^{N}(r_{k}-s_{m k})^{2} $

上式若要取得最大值, 显而易见 $\sum_{k = 1}^{N} (r_{k} - s_{m k})^{2}$ 需要取最小值。这也是符合我们直观印象的, 信号空间里两个信号点的欧氏距离越小, 说明它们越接近。

因此, 定义距离度量 $D (r ∣ s_{m})$

如下:$$ D(\vec{r} \mid \vec{s} {m})=\sum{k=1}^{N}(r_{k}-s_{m k})^{2}, m=1,2, \ldots, M $$

(2) 最佳检测器

最佳检测器将收到的信号向量 r 投射到 M 个可能的传输信号向量 $s_{m}$ 之一上去, 并选取对应与最大投影的向量。将上述定义的距离度量展开:

$$D(\vec{r} \mid \vec{s} {m})=|\vec{r}|^{2}-2 \vec{r} \cdot \vec{s} {m}+|\vec{s} *{m}|^{2}, m=1,2, \ldots, M $$

其中, $∣ r ∣^{2}$ 项对所有的判决度量是等价的的, 我们忽略这一项, 则得到相关度量:

$$ C(\vec{r} \mid \vec{s}* {m})=2 \vec{r} \cdot \vec{s} {m}-|\vec{s} {m}|^{2}, m=1,2, \ldots, M $$

可以看出, 距离度量越小, 则相关度量越大。

上述分析也证明了老师要求证明的内容：即相关度量与距离度量是完全等价的。

2.4 错误概率

理论错误概率：

8PSK: $e r f c (3 \times 1 0^{\frac{S N R}{1 0}} \times sin (\frac{π}{8}))$ ;

QPSK: $e r f c (1 0^{\frac{S N R}{1 0}}) \times (1 - 0.25 \times e r f c 1 0^{\frac{S N R}{1 0}})$

实际错误概率:

误码率: 错误码元/传输总码元

误比特率: 错误比特/传输总比特

三、系统框图

8PSK:

图 3.1 8PSK 系统框图

四、主函数设计

4.1 星座图绘制主函数

1.流程图

图 4.1 星座图绘制主函数流程图

2.代码实现

clc,clear,close;% Symbol sequence lengthL=100000;% Generate the original bit sequencesourceSeq=randnum(L);[pI,pQ,sourceSeqCode]=Map(sourceSeq,L);Eb = 1/3;
errbit = zeros(1,26);errnum = zeros(1,26);SNR=-5:20;LS = length(SNR);for i=1:LS    % Find the one-sided power spectral density of noise for a given signal-to-noise ratio    N0=Eb/(10^(SNR(i)/10));     % variance    var(i)=N0/2  ;          [rI,rQ]=noise(var(i),pI,pQ);    [result,I]=judgment(rI,rQ);    [errbit(i),errnum(i)]=Count(result,I,sourceSeq,sourceSeqCode);enddraw(sourceSeqCode,rI,rQ);

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4.2 QPSK 与 8PSK 误码率对比主函数

1.流程图

图 4.2 qpsk 与 8psk 误码率对比主函数流程图

2.代码实现

clc,clear,close;% Symbol sequence lengthL=100000;% Generate the original bit sequencesourceSeq=randnum(L);[pI,pQ,sourceSeqCode]=Map(sourceSeq,L);Eb = 1/3;
errbit = zeros(1,26);errnum = zeros(1,26);SNR=-5:20;LS = length(SNR);for i=1:LS    % Find the one-sided power spectral density of noise for a given signal-to-noise ratio    N0=Eb/(10^(SNR(i)/10));     % variance    var(i)=N0/2  ;          [rI,rQ]=noise(var(i),pI,pQ);    [result,I]=judgment(rI,rQ);    [errbit(i),errnum(i)]=Count(result,I,sourceSeq,sourceSeqCode);end% draw(sourceSeqCode,rI,rQ);
% Calculate the theoretical bit error rate using the erfc functionTheory8PSKSER = erfc(sqrt(3*10.^(SNR/10)) * sin(pi/8)); % QPSK TheoryQPSKSER = erfc(sqrt(10.^(SNR/10))).*(1-0.25*erfc(sqrt(10.^(SNR/10))));;% Load the SER-SNR curve of QPSKload('qpsk_errnum');figure(2);epskerr = errnum/L;semilogy(SNR,epskerr,'r-o');hold on;semilogy(SNR,qpskerr,'b-o');hold on;semilogy(SNR,Theory8PSKSER,'k-');hold on;semilogy(SNR,TheoryQPSKSER,'k-');hold on;ylabel('SER');xlabel('SNR/dB')legend('8PSK仿真曲线','QPSK仿真曲线','理论曲线','Location', 'northeast' );grid on;axis([-5,20,10e-7,1]);

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五、子函数设计

5.1 随机比特序列的产生

代码实现：

function [SourceSeq]=randnum(L)% L is the length of the generated sequence code% Since a code is composed of 3 bits, it is generated here with 3*L.randnum=rand(3*L,1);% Initialize the original sequenceSourceSeq=zeros(3*L,1);% The randomly generated sequence is judged% if the random number is greater than 0.5, it is judged as 1, otherwise it is judged as 0.for i=1:3*L    if(randnum(i)>=0.5)        SourceSeq(i)=1;    else        SourceSeq(i)=0;    endend

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5.2 格雷编码序列

代码实现

% Define 8psk mapping functionfunction [pI,pQ,SourceCode] = Map(SourceSeq,L)% pI - in-phase component% pQ - quadrature component% SourceCode - The size of the binary number of each digit of the sequence% initializationpI = zeros(L,1);pQ = zeros(L,1);% In order to facilitate subsequent expressions, sqrt(2)/2 is represented hereroot =sqrt(2)/2;% Constructing the mapping matrix according to the Gray code of 8PSKMappingMat = [[1,0];[root,root];[-root,root];[0,1];[root,-root];[0,-1];[-1,0];[-root,-root]];
SourceCode =zeros(L,1);% mapping processfor i=1:L    % Since a source symbol is composed of three bits    % the low and high bits are read in reverse order here, and expressed in decimal    SourceCode(i)=SourceSeq(3*i-2)*4+SourceSeq(3*i-1)*2+SourceSeq(3*i)+1;    % Find the corresponding code through the decimal representation and map it    pI(i) = MappingMat(SourceCode(i),1);    pQ(i) = MappingMat(SourceCode(i),2);endend
% Octal Gray Code Conversionfunction[a1,a2]=Map_other(N)% a1 is a sequence of random bits in binary% a2 is a sequence of octal symbols% Random bit sequence of length 3La1=bit(3*N);% a2 is used to store the code element sequence of length La2=zeros(1,N);for i=1:3:3*N-2   a2((i+2)/3)=abs(a1(i)*7-abs(a1(i+1)*3-a1(i+2)));% Converts binary bit sequence Gray-encoded to octal sequenceend end

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5.3 映射函数

代码实现

% 8PSK coordinate mappingfunction [y3]=coordinate(x1,bit)% x1 is the encoded octal sequence, bit is the originally generated binary random sequenceN=length(x1);Es=bit*bit'/N;% The first line of y3 is used to store the abscissa% the second line is used to store the ordinatey3=zeros(2,N);% Coordinate mappingfor i=1:N    y3(1,i)=sqrt(Es)*cos(pi/4*x1(i)+pi/8);    y3(2,i)=sqrt(Es)*sin(pi/4*x1(i)+pi/8);endend

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5.4 噪声生成与叠加输出

代码实现

% Generate Gaussian random noise sub-function , var is the variancefunction [rI,rQ] = noise(var,pI,pQ)L = length(pI);nc=zeros(L,1);ns=zeros(L,1);for k=1:Lu=rand;z=sqrt(var*2*log(1/(1-u)));nc(k)=z*cos(2*pi*u);ns(k)=z*sin(2*pi*u);end% Output two mutually orthogonal Gaussian signalsrI = pI+nc;rQ = pQ+ns;end

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5.5 判决函数

代码实现

% Judgment Criterion: Minimum Euclidean Distance Criterionfunction [result,I]=judgment(rI,rQ)root=sqrt(2)/2;L = length(rI);I=zeros(L,1);mapl = [[1,0];[root,root];[-root,root];[0,1];[root,-root];[0,-1];[-1,0];[-root,-root]];for i=1:L    index=0;    minp=100;    for j=1:8        % Traverse each coordinate        % find the point with the smallest Euclidean distance from the point, and record it.        if((mapl(j,1)-rI(i))^2+(mapl(j,2)-rQ(i))^2<minp)            minp=(mapl(j,1)-rI(i))^2+(mapl(j,2)-rQ(i))^2;            index=j;        end    end    I(i)=index;end
% According to the judgment point, make the corresponding assignmentresult = zeros(3*L,1);for i=1:L    switch(I(i))        case 1            [result(3*i-2),result(3*i-1),result(3*i)]=SetValue(0,0,0);        case 2            [result(3*i-2),result(3*i-1),result(3*i)]=SetValue(0,0,1);        case 3            [result(3*i-2),result(3*i-1),result(3*i)]=SetValue(0,1,0);        case 4            [result(3*i-2),result(3*i-1),result(3*i)]=SetValue(0,1,1);        case 5            [result(3*i-2),result(3*i-1),result(3*i)]=SetValue(1,0,0);        case 6            [result(3*i-2),result(3*i-1),result(3*i)]=SetValue(1,0,1);        case 7            [result(3*i-2),result(3*i-1),result(3*i)]=SetValue(1,1,0);        case 8            [result(3*i-2),result(3*i-1),result(3*i)]=SetValue(1,1,1);    endend
end

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SetValue 将对应的值进行赋值即可，由于判决函数中调用次数过多，因此抽象封装成一个函数，便于使用。

% SetValue functionfunction [a,b,c]=SetValue(d,e,f)a=d;b=e;c=f;end

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5.6 星座图绘制函数

代码实现

function draw(I,rI,rQ)figure;root = sqrt(2)/2;%映射矩阵MappingMat = [[1,0];[root,root];[-root,root];[0,1];[root,-root];[0,-1];[-1,0];[-root,-root]];L=length(I)for i=1:L    % Draw points with different colors according to different values    switch(I(i))        case 1            plot(rI(i),rQ(i),'*','color','r');hold on;
        case 2            plot(rI(i),rQ(i),'*','color','g');hold on;
        case 3            plot(rI(i),rQ(i),'*','color','b');hold on;
        case 4            plot(rI(i),rQ(i),'*','color','c');hold on;
        case 5            plot(rI(i),rQ(i),'*','color','m');hold on;
        case 6            plot(rI(i),rQ(i),'*','color','y');hold on;
        case 7            plot(rI(i),rQ(i),'*','color','k');hold on;
        case 8            plot(rI(i),rQ(i),'*','color','[0.5,0.5,0.5]');hold on;
    endendx = -4:0.1:4;y = -2:0.1:2;% plot(x,zeros(length(x)),'k');hold on;% plot(zeros(length(y)),y,'k');hold on;axis equalaxis([-2,2,-2,2]);end

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5.7 误码率及误比特率计算函数

代码实现

function [errbit,errsymbol]=Count(result,I,sourceSeq,sourceSym)% result: the sequence after the decision% I: symbol after decision% sourceSeq: original bit sequence% sourceSym: original symbol sequenceerrbit=0;errsymbol=0;for i=1:length(sourceSeq)    if(sourceSeq(i)~=result(i))        errbit=errbit+1;    endendfor i=1:length(I)    if(I(i)~=sourceSym(i))        errsymbol=errsymbol+1;    endendend

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六、性能分析与实验结果

6.1 比较 8PSK 与 QPSK 的 Monte Carlo 仿真误符号率曲线、理论误符号率曲线差别

在 AWGN 信道下，未加信道纠错码的 8PSK 调制通信系统检测器的判决准则选为最小距离法（星座图上符号间的距离），格雷码映射，比较数据点为 100000 时 8PSK 与 QPSK 的 Monte Carlo 仿真误符号率曲线，理论误符号率曲线，比较差别（横坐标是 SNR=Eb/N0）。(一张图上呈现 4 条曲线)

图 6. 1 QPSK 与 8PSK 性能比较

通过 Monte Carlo 仿真误符号率曲线可以看出，整体仿真结果基本符合理论计算曲线，并且在不同的信噪比下，对应的 QPSK 的误码率明显小于 8PSK 的误码率，8PSK 的星座图如下：

图 6. 2 8PSK 星座图

6.2 理论分析 8PSK 性能比 QPSK

理论证明如下：

r_{o 1} = \frac{ε _{g}}{2} cos (\frac{2 π m}{M}) + n = ε_{s} cos (\frac{2 π m}{M}) + n_{c} r_{o 2} = \frac{ε _{g}}{2} sin (\frac{2 π m}{M}) + n = ε_{s} sin (\frac{2 π m}{M}) + n_{s}

假设发送信号的相位为 $θ = 0$ ，那么

r_{o 1} = ε_{s} + n_{c} r_{o 2} = n_{s}

因为 $n_{c}$ 和 $n_{s}$ 是联合高斯随机过程

f_{r} (r_{o 1}, r_{o 2}) = \frac{1}{2 π σ _{r}^{2}} exp (- \frac{( r _{o 1} - ε _{s} ) ^{2} + r _{o 2}^{2}}{2 σ _{r}^{2}})

检测的测度为相位 $Θ_{r} = tan^{- 1} (r_{o 2} / r_{o 2})$

f_{Θ_{r}} (θ_{r}) = \frac{1}{2 π} e^{- 2 ρ_{s} s i n^{2} θ_{r}} \int_{0}^{\infty} v e^{- (v - 4 ρ_{s} c o s θ_{r})^{2} / 2} d v

其中 $ρ_{s} = ε_{s} / N_{0}$ . $v$ 是接收矢量 $r$ 的包络. 若 $ρ_{s} > > 1$ 且 $∣ Θ_{r} ∣ < = π / 2$

$f_{Θ_{r}} (θ_{r}) \approx \frac{2 ρ _{s}}{π} cos θ_{r} e^{- 2 ρ_{s} s i n^{2} θ_{r}}$ 若发送相位 0 , 当噪声使接收矢量的相位落在区域 $- π / M < Θ_{r} < π / M$ 之外时会发生判决错误，即

$$\begin{array}{c}P_{e}=1-\int_{-\pi / M}^{\pi / M} f_{\Theta_{r}}(\theta_{r}) d \Theta \approx 1-\int_{-\pi / M}^{\pi / M} \sqrt{\frac{2 \rho_{s}}{\pi}} \cos \theta_{r} e^{-2 \rho_{s} \sin ^{2} \theta_{r}} d \theta_{r} &br;\approx 2 Q(\sqrt{2 \rho_{s}} \sin \frac{\pi}{M})=2 Q(\sqrt{2 \log {2} M \rho{b}} \sin \frac{\pi}{M})\end{array}$$

对于 M=4 ，码元错误概率应为:

P_{4} = 1 - (1 - P_{2})^{2} = 2 Q (\frac{2 ε _{b}}{N _{0}}) [1 - \frac{1}{2} Q (\frac{2 ε _{b}}{N _{0}})]

对于 M=8 , 码元错误概率为:

$$P_{8}=2 Q(\sqrt{2 \frac{(\log {2} 8) E{b}}{N_{0}}} \sin \frac{\pi}{8})$$

很明显, 随着 $M$ 的不断增长, $P e$ 也在不断增加。符合实验结果。

七、问题回顾与总结

1.对二进制序列格雷编码的问题

针对二进制序列格雷编码，主要有两种思路，分别是直接法和间接法，直接法是先根据 8PSK 的格雷码构造映射矩阵，根据该 3bit 数表示码元的十进制值寻找其在格雷码矩阵中的对应位置，并且进行映射，需要注意的部分是由于一个源码元是由三个 bit 组成的，因此实际读取中，以 3 位单位进行遍历，并且通过倒序的方式读取低高位。

2.关于 MPSK 误符号率的问题

最开始计算误符号率时, 对于 QPSK 的理论误码率, 我最开始采用的是 MPSK 的统一公式:

$$\begin{array}{c}P_{s, M P S K}=2 Q(\sqrt{2 \frac{E_{s}}{N_{0}}} \sin \frac{\pi}{M}) &br;=2 Q(\sqrt{2 \frac{k E_{b}}{N_{0}}} \sin \frac{\pi}{M})=2 Q(\sqrt{2 \frac{(\log {2} M) E{b}}{N_{0}}} \sin \frac{\pi}{M})\end{array}$$

但是在后续的学习中, 才发现上述公式尽可以在 M>4 的情况下才可以使用, 而对于 \mathrm{M}=4 时的系统误码率, 应该采用公式:

P_{4} = 1 - P_{e} = 2 Q (\frac{2 ε _{s}}{N _{0}}) [1 - \frac{1}{2} Q (\frac{2 ε _{b}}{N _{0}})]

3.关于星座图绘制的问题

在绘制星座图时，初步想法是对于每一个判决分类的样本点采用不同的颜色绘制，但是对于如何针对点进行颜色，线性的绘制，我的初步想法是建立一个颜色-线性的向量，然后对于每个点判决的具体情况找到对应的样本颜色线型，采用数组引用的形式进行属性的赋值，但是随后发现看似简化了绘制过程，实际却在引用时产生很大的工作量，还可能产生错误绘制，因此综合比较下我选择用 switch 的方法进行情况判断，并对相应的判决点进行绘制。

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原文链接:【http://xie.infoq.cn/article/da70f776f98e3d332fd3d985f】。未经作者许可，禁止转载。

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MPSK 通信系统的设计与性能研究 -8PSK

一、8PSK 背景

二、原理概述

2.1 PSK 调制

2.2 信号传输

2.3 解调方式

2.4 错误概率

三、系统框图

四、主函数设计

4.1 星座图绘制主函数

4.2 QPSK 与 8PSK 误码率对比主函数

五、子函数设计

5.1 随机比特序列的产生

5.2 格雷编码序列

5.3 映射函数

5.4 噪声生成与叠加输出

5.5 判决函数

5.6 星座图绘制函数

5.7 误码率及误比特率计算函数

六、性能分析与实验结果

6.1 比较 8PSK 与 QPSK 的 Monte Carlo 仿真误符号率曲线、理论误符号率曲线差别

6.2 理论分析 8PSK 性能比 QPSK

七、问题回顾与总结

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