数据结构与算法系列之跳表（GO）

详细了解跳表

前边的一篇文章中分享了二分查找算法，里边有说到二分查找算法依赖数组的随机访问特性，只能用数组来实现。如果数据存储在链表中就没法用二分查找算法了



本篇文章分享的跳表，可以实现类似二分的查找算法，时间复杂度也是O(logn)



假设有一个有序的单链表，如果想从该链表中查找某一个数据，只能从头到尾的遍历查找，它的时间复杂度是O(n)。如何提高查找的效率？



假设我像下图这样，在原来的单链表上增加一级索引，每两个节点取一个结点到索引层。其中down为指向下一级节点的指针

假设现在需要查找【16】这个节点。可以先遍历索引层节点，当遍历到【13】这个节点时，发现下一个节点为【17】，那么我们要找的节点【16】肯定就在它们中间。此时，通过索引节点【13】的down指针，下降到原始链表层中继续遍历，此时只需要再遍历两个节点就找到了我们要查找的【16】。如果直接在原始链表中查找【16】，需要遍历10个结点，现在只需要遍历7个结点



从上边可以发现，加了一层索引之后，查找一个节点需要遍历的节点数减少了，也就意味着查找的效率提高了，如果我们增加更多的索引层，效率会不会提高更多？



假设现在在原来的一级索引上边按同样的方法，再增加一层索引，如果再查【16】这个节点，只需要遍历6个结点了。查找一个节点需要遍历的节点又减少了



上边的例子中，原始链表的节点数量并不多，每增加一层索引，查询效率提高的并不明显，下边假设原始链表中有64个节点，建立5级索引

从图中可以看出，原来没有索引的时候，查找【62】这个节点需要遍历62个节点，现在只需要遍历11个节点，速度提高了很多。当链表的长度n比较大时，比如1000、10000的时候，在构建索引之后，查找效率的提升就会非常明显。这种链表加多级索引的结构，就是跳表

跳表的时间复杂度

如果链表里有n个结点，可以有多少级索引？



按照上边例子中的那种方式，每两个结点会抽出一个结点作为上一级索引的结点，那第一级索引的结点个数大约就是n/2，第二级索引的结点个数大约就是n/4，第三级索引的结点个数大约就是n/8，依次类推，也就是说，第k级索引的结点个数是第k-1级索引的结点个数的1/2，那第k级索引结点的个数就是 n/(2^k)

假设索引有h级，最高级的索引有2个结点。通过上面的公式，可以得到n/(2^h)=2，从而求得 h=log2n-1(2为底)。如果包含原始链表这一层，整个跳表的高度就是log2n(2为底)。在跳表中查询某个数据的时候，如果每一层都要遍历m个结点，那在跳表中查询一个数据的时间复杂度就是O(mlogn)



这个m的值是多少？按照上边的例子中这种索引结构，我们每一级索引都最多只需要遍历3个结点，也就是说m=3，解释一下为啥是3



假设要查找的数据是x，在第k级索引中，我们遍历到y结点之后，发现x大于y，小于后面的结点z，所以我们通过y的 down 指针，从第k级索引下降到第k-1 级索引。在第k-1级索引中，y和 z之间只有3个结点（包含 y 和 z），所以，我们在k-1级索引中最多只需要遍历3个结点，依次类推，每一级索引都最多只需要遍历3个结点

通过上面的分析，得到m=3，所以在跳表中查询任意数据的时间复杂度就是O(logn)。这个查找的时间复杂度跟二分查找是一样的。换句话说，其实是基于单链表实现了二分查找。不过，天下没有免费的午餐，这种查询效率的提升，前提是建立了很多级索引，是一种空间换时间的思路

跳表的空间复杂度分析

假设原始链表大小为n，那第一级索引大约有n/2个结点，第二级索引大约有n/4个结点，以此类推，每上升一级就减少一半，直到剩下2个结点。如果我们把每层索引的结点数写出来，就是一个等比数列

n/2, n/4, n/8,...,8, 4, 2

这几级索引的结点总和就是n/2+n/4+n/8…+8+4+2=n-2。所以，跳表的空间复杂度是 O(n)。也就是说，如果将包含n个结点的单链表构造成跳表，我们需要额外再用接近n个结点的存储空间



有没有办法降低索引占用的内存空间呢？

降低跳表空间复杂度的方法

前面都是每两个结点抽一个结点到上级索引，如果我们每三个结点或五个结点，抽一个结点到上级索引，就不用那么多索引结点了



从图中可以看出，第一级索引需要大约n/3个结点，第二级索引需要大约n/9个结点。每往上一级，索引结点个数都除以3。为了方便计算，假设最高一级的索引结点个数是1。我们把每级索引的结点个数都写下来，也是一个等比数列

n/3, n/9, n/27, ... , 9, 3, 1



通过等比数列求和公式，总的索引结点大约就是n/3+n/9+n/27+…+9+3+1=n/2。尽管空间复杂度还是 O(n)，但比上面的每两个结点抽一个结点的索引构建方法，要减少了一半的索引节点存储空间



实际上，在平时开发中，不必太在意索引占用的额外空间。在数据结构和算法中，习惯性地把要处理的数据看成整数，但是在实际的开发中，原始链表中存储的有可能是很大的对象，而索引结点只需要存储关键值和几个指针，并不需要存储对象，所以当对象比索引结点大很多时，那索引占用的额外空间就可以忽略了

跳表操作

跳表是个动态数据结构，不仅支持查找操作，还支持动态的插入、删除操作，而且插入、删除操作的时间复杂度也是O(logn)

插入

在单链表中，一旦定位好要插入的位置，插入结点的时间复杂度是很低的，就是 O(1)。但是，为了保证原始链表中数据的有序性，需要先找到要插入的位置，这个查找操作就会比较耗时



对于纯粹的单链表，需要遍历每个结点，来找到插入的位置。但是，对于跳表来说，查找某个节点的时间复杂度是 O(logn)，所以这里查找某个数据应该插入的位置，方法也是类似的，时间复杂度也是O(logn)

删除

如果要删除的结点在索引中有出现，除了要删除原始链表中的结点，还要删除索引中的。因为单链表中的删除操作需要拿到要删除结点的前驱结点，然后通过指针操作完成删除。所以在查找要删除的结点的时候，一定要获取前驱结点。当然，如果用的是双向链表，就不需要考虑这个问题了

索引动态更新

当不停地往跳表中插入数据时，如果不更新索引，就有可能出现某2个索引结点之间数据非常多的情况。极端情况下，跳表还会退化成单链表

作为一种动态数据结构，它需要某种手段来维护索引与原始链表大小之间的平衡，也就是说，如果链表中结点多了，索引结点就相应地增加一些，避免复杂度退化，以及查找、插入、删除操作性能下降



后边会分享到的红黑树、AVL树这样的平衡二叉树，它们是通过左右旋的方式保持左右子树的大小平衡，而跳表是通过随机函数来维护前面提到的“平衡性”



当我们往跳表中插入数据的时候，可以选择同时将这个数据插入到部分索引层中。如何选择加入哪些索引层，就是随机函数要干的事情



通过一个随机函数，来决定将这个结点插入到哪几级索引中，比如随机函数生成了值K，那就将这个结点添加到第一级到第K级这K级索引中

随机函数的选择很有讲究，从概率上来讲，能够保证跳表的索引大小和数据大小平衡性，不至于性能过度退化

跳表的应用

为什么Redis要用跳表来实现有序集合，而不是红黑树？

Redis中的有序集合是通过跳表来实现的，严格点讲，其实还用到了散列表。后边的文章会分享到散列表，所以现在暂且忽略这部分。如果你了解Redis中的有序集合，它支持的核心操作主要有下面这几个

• 插入一个数据；

• 删除一个数据；

• 查找一个数据；

• 按照区间查找数据（比如查找值在 [100, 356] 之间的数据）；

• 迭代输出有序序列



其中，插入、删除、查找以及迭代输出有序序列这几个操作，红黑树也可以完成，时间复杂度跟跳表是一样的。但是，按照区间来查找数据这个操作，红黑树的效率没有跳表高



对于按照区间查找数据这个操作，跳表可以做到O(logn)的时间复杂度定位区间的起点，然后在原始链表中顺序往后遍历就可以了。这样做非常高效



Redis之所以用跳表来实现有序集合，还有其他原因，比如，跳表更容易代码实现。虽然跳表的实现也不简单，但比起红黑树来说还是好懂、好写多了，而简单就意味着可读性好，不容易出错。还有，跳表更加灵活，它可以通过改变索引构建策略，有效平衡执行效率和内存消耗



不过，跳表也不能完全替代红黑树。因为红黑树比跳表的出现要早一些，很多编程语言中的Map类型都是通过红黑树来实现的。做业务开发的时候，直接拿来用就可以了，不用费劲自己去实现一个红黑树，但是跳表并没有一个现成的实现，所以在开发中，如果你想使用跳表，必须要自己实现