数列找规律的问题

一些数学作业中，经常有给定一个数列的前几项，让你寻找规律，填写下一项的问题。比如这样：

请填写数列的下一项：1, 3, 5, 7, ____

这种题目一般不会太难，比如上面这题，我们可以合理地推测这是一个等差数列，因此下一项是 9。

回答这类题目的时候，我们心中通常会有一些默认的假设，比如假设题目不会太超纲，数列的规律也不会太复杂，不然的话，这类题目恐怕就没法简单地回答了。

问题

前几日，我在网络上看到一个图片，就对上面的题目给出了一个有点搞笑却又有理有据的回答：

作者说，数列 1, 3, 5, 7 的下一项是 217341，因为这个数列的规律（通项公式）是：

我写代码验证了一下，这个公式是正确的，如下：

const f = (x) => 18111/2 * Math.pow(x, 4) 		- 90555 * Math.pow(x, 3) 		+ 633885/2 * x * x 		- 452773 * x 		+ 217331
console.log(f(1))console.log(f(2))console.log(f(3))console.log(f(4))console.log(f(5))

执行，输出结果为：

1357217341

所以说，数列 1, 3, 5, 7 的下一项，完全可以不是 9，而是一个奇怪而复杂的数字。

笑过之后，我不禁在想，这个通项公式是怎么得到的呢？还有其他函数有这样的效果吗？

探索

一番思考之后，我发现答案其实很简单，如果把数列的序号以及值看做坐标变量 x、y，那么这其实就是给定几个散点，求一条拟合曲线的问题，这样的公式完全可以根据需要算出来，而且有无穷多个。

就以上面的公式为例，可以看到，它是一个一元四次多项式，如果我们把 $\frac{18111}{2}$ 这样的常量用字母来代替的话，这个函数可以写成下面的一般形式：

然后，根据已知数列，我们有：

也即：

这是一个很普通的五元一次方程组，其中第五个等式的值即是数列第 5 项 $f(5)$ 的值。

在我们最初的解答中有 $f(5)=9$，将其代入方程组，可以解得：

即：

可以看到，这就是一个简单的等差数列。

在这个五元一次方程组的基础上，我们可以继续前进，比如构造出一个公式，让数列的前四项是 1, 3, 5, 7，而第五项是任意我们想要的值。今年是 2020 年，就让我们来构造一个让数列的第五项是 2020 的公式吧，操作很简单，将方程组第五个等式右侧的问号换成 2020 即可：

解之，得：

即：

你可以验证一下，在这个公式下，$f(x)$ 的前五项值分别为：1, 3, 5, 7, 2020。

甚至，你也可以构造出这样的公式：

在这个公式下，数列的前五项将是：1, 3, 5, 7, 123456789 。

也就是说，你想让第五项等于几都行，可以是 -1、233333333、π、$\sqrt{2}$，甚至还可以是虚数，你所要做的，就是将想得到的数字代入上面的五元一次方程组，解出这个方程，从而得到通项公式 $f(x)$ 各项的参数。

这儿为了简单起见，$f(x)$ 函数中使用的是多项式，如果你想弄得复杂点，$f(x)$ 中也可以使用指数函数、三角函数等等。当然，弄得太复杂的话可能会很难解出方程中常数的值来，如果你只是想凑一个公式，让数列的下一项得到任意指定的值，那么多项式就足够了。

另外，任意长度的数列找规律都可以使用这个方法，原因上面说了，这本质上就是一个给定若干散点求拟合函数的问题，使用拉格朗日插值法等方法，总是能找到符合要求的多项式函数。

小结

下次再看到数列找规律的题目，你就知道啦，从理论上来说，你完全可以任意填写一个数字，比如你的生日，然后给老师看这篇文章，告诉老师你可以给出对应的通项公式来。当然，如果你真的这么做，你有很大的概率会被扣分，所以正式考试的时候还是按题意来回答吧。

最后，关于这个数列的问题，我也做了一个在线演示，你可以在其中随意填写数字，并生成对应的通项公式，欢迎点击试玩。

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注：本文首发于我的博客。